"Verter en el récord" (or as here "en el registro") is simply to place something (or order it to be placed) on the record. I don't know whether this expression is peculiar to Puerto Rico or whether it is also used elsewhere. It is found in parliamentary as well as judicial proceedings.

"Verter" here means "consignar": record. But "record on the record" obviously wouldn't work, so we'd better say "place on the record", I think.

"Parecía que todos iban a firmar, pero uno de los abogados del alcalde Jaime Barlucea dijo que debía quedar consignado para el récord que ellos tenían dos reservas: [...]
El abogado Luis Pérez Giusti contestó que firmarían, pero insistió en las objeciones que querían verter en el récord.
Ahí, el juez estalló en ira, y sentenció: “Entonces no hay acuerdo... hemos terminado”."
http://www.primerahora.com/noticias/policia-tribunales/nota/...

It can also have the sense of "state for the record":

"Si las partes no lograran un acuerdo sobre las instrucciones, todos, fiscales y abogados de defensa, saldrían a sala para verter para el récord las posiciones de cada cual de forma tal que si no están conformes con las decisiones del juez Barbadoro puedan ejercer el derecho de apelación."
http://www.noticiasonline.com/ciencia/Det.asp?id=20291

If you look at examples of "el tribunal vertió", none of them mean "overturn"; they all mean "state", or something similar.