Det måste ju vara ett företag som ägnar sig åt samma slags verksamhet som ett "retainer-based firm" som du också frågar efter. Men de letar tydligen efter lite olika slag av yrken.

Huvudsaken är dock att deras uppgift är att förmedla personal, antingen genom att själv anställa den och hyra ut den, eller genom att specialisera sig på att rekrytera (ur vissa yrkeskategorier).

Då skulle jag säga att svenskans "bemanningsföretag" innefattar både "retainer-based firm" och "contingency firm".

"Konsult" däremot syftar ju på en person (även om det kan betyda företag). Men på bemanningsföretag jobbar konsulter.
Och att skriva "Executive search-konsult" är ju inte direkt en svensk översättning... :)